No.187 二乗数の事情通

「たすくえあ」の紛れについて調べていたら、
ちょっとだけ面白いことを見つけました。

四角の中に９とあったら、「３ｘ３の正方形１つ」または
「２ｘ２の正方形２つと１ｘ１の正方形１つ」と隣接します。
つまり、２種類パターンがあるということです。
「 3x3 = 2x2 + 2x2 + 1x1 」ですね。
複数の可能性があることを紛れと呼んでいます。私が。勝手に。

前者と後者で、最大となる正方形の一辺の長さの差が１なので
この状態を特に「差が１の紛れ」と呼んでいます。これも私が勝手に。

んで、ココから本題。

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二乗数１つと２つの組み合わせになる『差が１の紛れ』のものを
（ A^2 = B^2 + C^2 、または A^2 = B^2 + C^2 + 1 で、
かつ、A = B + 1 ）
小さい順にいくつか羅列してみました。

 3x 3 =  2x 2 +  2x 2 + 1x 1
 5x 5 =  4x 4 +  3x 3
 9x 9 =  8x 8 +  4x 4 + 1x 1
13x13 = 12x12 +  5x 5
19x19 = 18x18 +  6x 6 + 1x 1
25x25 = 24x24 +  7x 7
・・・

何か面白そうな並びですね。ちょっと補足の行を足しましょう。

 1x 1 =  0x 0 +  1x 1
 ↓ 2    ↓ 2    ↓ 1   ↓+1
 3x 3 =  2x 2 +  2x 2 + 1x 1
 ↓ 2    ↓ 2    ↓ 1   ↓-1
 5x 5 =  4x 4 +  3x 3
 ↓ 4    ↓ 4    ↓ 1   ↓+1
 9x 9 =  8x 8 +  4x 4 + 1x 1
 ↓ 4    ↓ 4    ↓ 1   ↓-1
13x13 = 12x12 +  5x 5
 ↓ 6    ↓ 6    ↓ 1   ↓+1
19x19 = 18x18 +  6x 6 + 1x 1
 ↓ 6    ↓ 6    ↓ 1   ↓-1
25x25 = 24x24 +  7x 7
 ↓ 8    ↓ 8    ↓ 1   ↓+1
33x33 = 32x32 +  8x 8 + 1x 1
 ↓ 8    ↓ 8    ↓ 1   ↓-1
41x41 = 40x40 +  9x 9
 ↓10    ↓10    ↓ 1   ↓+1
51x51 = 50x50 + 10x10 + 1x 1
 ↓10    ↓10    ↓ 1   ↓-1
61x61 = 60x60 + 11x11
 ↓12    ↓12    ↓ 1   ↓+1
73x73 = 72x72 + 12x12 + 1x 1
 ↓12    ↓12    ↓ 1   ↓-1
85x85 = 84x84 + 13x13
 ↓14    ↓14    ↓ 1   ↓+1
99x99 = 98x98 + 14x14 + 1x 1

おお！なんとなく美しいですね。

この次の行は、もちろん「 113x113 = 112x112 + 15x15 」です。

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もう１つ、
二乗数１つと２つの組み合わせになる『差が２の紛れ』のものを
( A^2 = B^2 + C^2 で、かつ、A = B + 2 )
(* A^2 = B^2 + C^2 + 1 のものは見つからなかったよ)
小さい順にいくつか羅列してみましょう。

 5x 5 =  3x 3 +  4x 4
10x10 =  8x 8 +  6x 6
17x17 = 15x15 +  8x 8
26x26 = 24x24 + 10x10
37x37 = 35x35 + 12x12
・・・

これも行を足してみましょう。

 2x 2 =  0x 0 +  2x 2
 ↓ 3    ↓ 3    ↓ 2
 5x 5 =  3x 3 +  4x 4
 ↓ 5    ↓ 5    ↓ 2
10x10 =  8x 8 +  6x 6
 ↓ 7    ↓ 7    ↓ 2
17x17 = 15x15 +  8x 8
 ↓ 9    ↓ 9    ↓ 2
26x26 = 24x24 + 10x10
 ↓11    ↓11    ↓ 2
37x37 = 35x35 + 12x12
 ↓13    ↓13    ↓ 2
50x50 = 48x48 + 14x14
 ↓15    ↓15    ↓ 2
65x65 = 63x63 + 16x16
 ↓17    ↓17    ↓ 2
82x82 = 80x80 + 18x18

これも美しいですねぇ。
この次の行は、もちろん「 101x101 = 99x99 + 20x20 」です。

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（もし数学に詳しい方がこの記事を読んでいらっしゃいましたら
既に名前がつけられているであろうこの法則の名前をご教示願います）

特に「 101x101 = 99x99 + 20x20 」なんて数式は、
見ているだけでウットリしてしまいますね。すばらしいです。



なんとなくすげぇと感銘を受けたあなた！
ぜひタテ１２０マス、ヨコ１２０マス以上あるたすくえあを作って
この紛れを入れてみてくださいませ。私は心の底から応援します。

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